Первообразная. Интеграл

• Правила нахождения первообразных
• Площадь криволинейной трапеции и интеграл

Правила нахождения первообразных
Определение. Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если для всех x из этого промежутка F'(x) = f(x).

Пусть F(x) и G(x) - первообразные соответственно функция f(x) и g(x) на некотором промежутке. Тогда:
1) функция F(x) ± G(x) является первообразной функции f(x) ± g(x);
2) функция aF(x) является первообразной функции af(x).

Функция	Первообразная
xp, p ≠ -1	( xp+1 / ( p+1 ) ) + C
1 / x, x > 0	ln x + C
ex	ex + C
sin x	- cos x + C
cos x	sin x + C
(kx + b)p, p ≠ -1, k ≠ 0	( (kx + b)p+1 / k( p+1 ) ) + C
1 / (kx + b), k ≠ 0	1/k · ln (kx + b) + C
ekx + b	1/k · ekx + b + C
sin (kx + b), k ≠ 0	- 1/k · cos (kx + b) + C
cos (kx + b), k ≠ 0	1/k · sin (kx + b) + C

Площадь криволинейной трапеции и интеграл
Площадь криволинейной трапеции


можно вычислить по формуле

S = F(b) - F(a),
где F(x) - любая первообразная функции f(x). Разность F(b) - F(a) называют интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] и обозначается так:

_a^b∫ f(x) dx
Читается: "Интеграл от a до b эф от икс дэ икс". Т.е.

_a^b∫ f(x) dx = F(b) - F(a)
Эту формулы называют формулой Ньютона - Лейбница.