Логарифмическая функция

• Определение логарифма
• Свойства логарифмов
• Десятичные и натуральные логарифмы
• Логарифмическая функция, ее свойства и график

Определение логарифма
Логарифмом положительного числа b по соснованию a, где a > 0 и a ≠ 1, называется показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b.
log_a b - запись логарифма
Основное логарифмическое тождество: a^log_ab = b
Свойства логарифмов
Пусть a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, p ≠ 0, к - любое действительное число. Тогда справедливы формулы:

1. log_a (bс) = log_a b + log_a с
2. log_a (b/с) = log_a b - log_a с
3. log_a b^r = r · log_a b
4. log_a^p b = (1/p) · log_a b
5. log_a b = 1 / log_b a

Десятичные и натуральные логарифмы
Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут lg b вместо log₁₀ b.

Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где e - иррациональное число, приближенно равное 2.7. При этом пишут ln b вместо log_e b.

Формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию:
log_a b = (log_c b) / (log_c a)
Т.е.:
log_a b = (lg b) / (lg a)
log_a b = (ln b) / (ln a)
Логарифмическая функция, ее свойства и график
В математике и её приложениях часто встречается логарифмическая функция
у = log_a x, где a > 0 и a ≠ 1.

Логарифмическая функция обладает следующими свойствами:
1) Область определения логарифмической функции - множество всех положительных чисел.
2) Множество значений логарифмической функции - множество R всех действительных чисел.
3) Логарифмическая функция у = log_a x является возрастающей на промежутке x > 0, если a > 1, и убывающей, если 0 < a < 1.
4) Если a > 1, то функция у = log_a x принимает положителтные значения при x > 1, отрицательные при 0 < x < 1. Если 0 < a < 1, то функция у = log_a x принимает положителтные значения при 0 < x < 1, отрицательные при x > 1.
График логарифмической функции у = log_a x, где a > 1.

График логарифмической функции у = log_a x, где 0 < a < 1.

Теорема. Если log_a x₁ = log_a x₂, где a > 0, a ≠ 1, x₁ > 0, x₂ > 0, то x₁ = x₂.