ege-mobile.ru

Тригонометрия
Синус, косинус и тангенс угла

Определение 1. Синусом угла α называется ордина точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол. Обозначается sin α.

Определение 2. Косинусом угла α называется ордина точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол. Обозначается cos α.


Определение 3. Тангенсом угла α называется отношение синуса угла α к его косинусу. Обозначается tg α.
tg α = (sin α) / (cos α)

Определение 4. Котангенсом угла α называется отношение косинуса угла α к его синусу. Обозначается ctg α.
ctg α = (cos α) / (sin α)


α
sin α
cos α
tg α
ctg α
0
0
1
0
Не существует
π/6
30°
1/2
√3/2
√3/3
√3
π/4
45°
√2/2
√2/2
1
1
π/3
60°
√3/2
1/2
√3
√3/3
π/2
90°
1
0
Не существует
0
π
180°
0
-1
0
Не существует
3π/2
270°
-1
0
Не существует
0

360°
0
1
0
Не существует

Знаки синуса, косинуса и тангенса

Знаки синуса:

Знаки косинуса:

Знаки тангенса:


Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла

Основное тригонометрическое тождество:
sin2 α + cos2 α = 1


sin α = ± √(1 - cos2 α)

cos α = ± √(1 - sin2 α)

tg α · ctg α = 1

tg α = 1 / ctg α

ctg α = 1 / tg α

1 + tg2 α = 1 / cos2 α

1 + ctg2 α = 1 / sin2 α


Синус, косинус и тангенс углов α и -α

sin (α) = - sin α
cos (-α) = cos α
tg (α) = - tg α


Формулы сложения

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

cos (α - β) = cos α sin β + sin α cos β

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β

tg (α + β) = (tg α + tg β) / (1 - tg α · tg β))


Синус, косинус и тангенс двойного угла

sin 2α = 2 sin α cos α

cos 2α = cos2 α - sin2 α

tg 2α = 2tg α/ (1 - tg2 α)


Синус, косинус и тангенс половинного угла

sin2 (α/2) = (1 - cos α) / 2

cos2 (α/2) = (1 + cos α) / 2

tg2 (α/2) = (1 - cos α) / (1 + cos α)


sin α = 2tg (α/2) / (1 + tg2 (α/2))

cos α = (1 - tg2 (α/2)) / (1 + tg2 (α/2))

tg α = 2tg (α/2) / (1 - tg2 (α/2))


Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов

sin α + sin β = 2 sin ( (α + β) / 2) cos ( (α - β) / 2)

sin α - sin β = 2 sin ( (α - β) / 2) cos ( (α + β) / 2)

cos α + cos β = 2 cos ( (α + β) / 2) cos ( (α - β) / 2)

cos α - cos β = - 2 cos ( (α + β) / 2) cos ( (α - β) / 2)


Формулы преобразования произведения в сумму

cos α cos β = 1/2 (sin (α + β) + sin (α - β) )

sin α sin β = 1/2 (cos (α - β) - cos (α + β) )

cos α cos β = 1/2 (cos (α + β) + cos (α - β) )


Формулы приведения

sin (α + 2πk) = sin α

cos (α + 2πk) = cos α, k ∈ Z

sin (π/2 - α) = cos α
sin (π - α) = sin α
sin (3π/2 - α) = - cos α
sin (π/2 + α) = cos α
sin (π + α) = - sin α
sin (3π/2 + α) = - cos α

cos (π/2 - α) = sin α
cos (π - α) = - cos α
cos (3π/2 - α) = - sin α
cos (π/2 + α) = - sin α
cos (π + α) = - cos α
cos (3π/2 + α) = sin α

tg (α + πk) = tg α, k ∈ Z

ctg (α + πk) = crg α, k ∈ Z

tg (π/2 - α) = ctg α
tg (π/2 + α) = - ctg α
ctg (π/2 - α) = tg α
ctg (π/2 + α) = - tg α

Формулы приведения запоминать необязательно. Для того чтобы записать любую из них, можно руководстоваться следующими правилами:
1) В правой части ставится тот знак, который левая часть имеет при условии 0 < α < π/2.
2) Если в левой части угол равен π/2 ± α или 3π/2 ± α, то синус заменяется на косинус, косинус - на синус, тангенс - на котангенс, котангенс - на гангенс. Если угол равен π ± α, то замены не происходит.

Полезно:
"Яндекс.Переводчик"
"Нигма.рф" - Помощник по химии
"Википедия" - Свободная энциклопедия
"Яндекс.ру" - Найдется всё

Copyright © Михаил Бегунов, 2012-2013