ege-mobile.ru

Производная
Правила дифференцирования

1. Производная суммы равна сумме производных:
(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)

2. Постоянный множитель можно вынести за знак производной:
(сf(x))' = сf'(x)

3. Производная произведения:
(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

4. Производная частного:
(f(x) / g(x))' = ( f'(x)g(x) - f(x)g'(x) ) / g2(x)

5. Производная сложной функции:
( f (g(x)) )' = f'( g(x) ) · g'(x)

Производные некоторых функций

1. ( C )' = 0

2. ( kx + b )' = k

3. (xp)' = pxp-1

4. (ex)' = ex

5. (ekx+b)' = kekx+b

6. ( ln x )' = 1/x, x > 0

7. ( ln (kx + b) )' = k/(kx+b), kx + b > 0

8. (loga x)' = 1 / (x · ln a)

9. ( sin x )' = cos x

10. ( sin (kx+b) )' = k · cos (kx+b)

11. ( cos x )' = - sin x

12. ( cos (kx+b) )' = -k · sin (kx+b)

Например: (7)' = 0;
(x5)' = 5x4;
(ex)' = ex;
( ln 5 )' = 1/5 = 0,2;
( ln (2x + 1) )' = 2/(2x+1);
(log2 3)' = 1 / (3 · ln 2);
( sin π )' = cos π
( sin (x-5) )' = cos (x-5);
( sin (π/2) )' = cos (π/2);
( cos (10x+1) )' = -10 · sin (10x+1).

Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции f(x) в точке x равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке (x; f(x)).

Уравнение касательной:
y = f(x0) + f'(x0) · (x - x0)

Возрастание и убывание функции

Если f'(x) > 0 на промежутке, то функция возрастает на этом промежутке.
Если f'(x) < 0 на промежутке, то функция убывает на этом промежутке.

Теорема. Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a; b) и f'(x) > 0 для всех x ∈ (a; b), то функция взрастает на промежутке (a; b).

Экстремумы функции

Точка x0 называется точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки x0, что для всех x ≠ x0 из этой окрестности f(x) > f(x0).
Точка x0 называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки x0, что для всех x ≠ x0 из этой окрестности f(x) < f(x0).

Точки минимума и максимума называются точками экстремума.

Теорема*. Если x0 - точка экстремума дифференцируемой функции f(x), что f'(x0) = 0.
(* - Это утверждение называют теоремой Ферма).

Теорема. Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (a; b), x0 ∈ (a; b) и f'(x0) = 0. Тогда:
1) если при переходе через стационарную точку х0 функция f(x) и её производная меняет знак, с «плюса» на «минус», тогда точка х0 является точкой максимума функции.
2) если при переходе через стационарную точку х0 функция f(x) и её производная меняет знак, с «минуса» на «плюс», тогда точка х0 является точкой минимума функции.

Наибольшее и наименьшее значения функции

Для нахождения нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a, b] нужно:
1) Найти все критические точки функции в интервале (a, b) и вычислить значения функции в этих точках.
2) Вычислить значения функции на концах отрезка при x = a, x = b.
3) Из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Выпуклость, вогнутость и точки перегиба функции

Вторая производная. Если производная f'(x) функции f(x) дифференцируема в точке х0, то её производная называется второй производной функции f(x) в точке х0, и обозначается f''(х0).

Функция f(x) называется выпуклой на интервале (a, b), если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой y = f(x) в любой точке ( х0 , f(х0) ), х0 ∈ ( a, b ).

Функция f(x) называется вогнутой на интервале (a, b), если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой y = f(x ) в любой точке ( х0 , f (х0), х0 ∈ ( a, b ).

Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции. Пусть функция f (x) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале (a, b), тогда:
1) если f''(x) > 0 для любого x ∈ (a, b), то функция f(x) является вогнутой на интервале (a, b);
2) если f''( x ) < 0 для любого x ∈ (a, b), то функция f(x) является выпуклой на интервале (a, b).

Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба х0 существует вторая производная f''( х0 ), то f''( х0 ) = 0.

Полезно:
"Яндекс.Переводчик"
"Нигма.рф" - Помощник по химии
"Википедия" - Свободная энциклопедия
"Яндекс.ру" - Найдется всё

Copyright © Михаил Бегунов, 2012-2013